自由缩径成形由于摩擦接触面小，塑性变形量小，挤压力小，凹模加工费用低，因而成为花键冷挤的首选方案。但是凹模的设计和成形参数的选择，由于缺乏系统的理论分析，不得不依靠试验方法，即不断修模的方法，并且有时因缩径量过大，自由缩径无法成形，极大地限制了这种先进工艺的应用。为此，在花键凹模设计之前，对其变形机理进行分析，十分必要。
一、轴挤压允许变形量分析
轴挤压模型建立如图2a、b所示。在挤压时，缩径之所以能够进行，是因为凸模与毛坯的接触面积大于毛坯与凹模之间的接触面积，导致了毛坯杆部的正压力小于凹模人口处毛坯所受压力。当缩径变形量小于一定值时，就可以实现自由缩径。
这里采用了主应力法推导轴卡f部自由缩径的最大变形量。图2a中阴影部分所在的圆柱区为静定区，图2b中阴影部分所在的锥体区为塑变区，即缩径区，出模部分为自由区，模口上面杆部为弹性区。
(1)静定区是挤压变形后的金属，处于弹性变形状态，受径向压应力 的作用，取如图2a所示的单元体，则z方向的平衡方程为：
(2)成形区(塑变区)金属产生剧烈变形，采用球坐标系分析。在变形体内以O为球坐标的圆点，切取一个厚为dr的两个球面和接触面所包括的基元体，如图2b所示。由于是轴对称状态，故同心球面各点的应力相同，切向应力为。其平衡方程为：
(3)杆部不镦粗条件。由于变形时杆部没有约束，仅受轴向压应力作用，并在整个区间内均匀分布，故根据边界条件，可求出：
二、花键轴挤压极限缩径公式的提出
花键轴挤压缩径量极限值，目前还没有成熟的计算公式，用式(7)来计算花键轴挤压的极限缩径量，显然会有一定出入。那是因为花键轴挤压过程中，由于键齿的存在而使得挤压变形中金属不但有径向与轴向流动，还会出现切向流动，这是与圆轴缩径不同的。但是在计算中取D和d分别为花键轴的外径和内径，则结果和实验所得值非常接近：那是因为虽然形状复杂的花键在成形过程中会因接触面的增大而提高挤压力，但其实际的缩径量并没有达到(πD2一πd2/πD2，二者实际上起到了互补作用，因此，式(7)可以用来判断能否用自由缩径的方法成形花键轴。
三、自由缩径实验
利用MATLABR12，用式(7)求得不同材料硬度情况下的极限缩径比.对于硬钢(硬度>HB180)，缩径比d/D>O.8;而对于软钢(硬度
实验结果表明，实验挤压比为78%，接近所计算的硬钢极限挤压比。结果是第一种材料成功挤出了花键轴(图3b);第二种材料成形过程不稳定，不适应实际生产;第三种材料因头部镦粗过大，金属堆积在凹模口部而不能成形。
